Před MSc základní program v aplikované matematice

Pre-Master's Foundation Program (PMFP) v aplikované matematice se zaměřuje na homogenizaci portfolia kompetencí potenciálních studentů dvou magisterských programů v matematickém modelování a matematickém inženýrství na University Of L'Aquila , které zahrnují program Erasmus Mundus "InterMaths - Interdisciplinary Mathematics" , společný magisterský program „MathMods“ a program Double Degree „InterMaths“.

V závislosti na bakalářských studijních programech studenta a na vzdělávacím systému v zemi původu mohou studenti, kteří se zapisují do těchto tří programů, vyznačovat velmi různorodým souborem dovedností v oborech, které charakterizují tyto magisterské programy. PMFP v aplikované matematice je navržen tak, aby řešil tento problém tím, že pokrývá specifické kompetence jak v teoretické matematice (skutečná analýza a lineární algebra), tak v počítačovém programování. Pokud jde o teoretickou matematiku, hlavním cílem PMFP je překlenout propast mezi „kalkulem“ a „skutečnou analýzou“, což je typický problém, který se často objevuje u budoucích studentů magisterského studia s velmi „aplikovaným“ zázemím.

PMFM bude obsahovat velmi základní témata reálné analýzy, která studentům umožní vypořádat se s infinitezimálním kalkulem s rigorózní perspektivou "reálné analýzy" (včetně použití rigorózních matematických důkazů). Na druhou stranu studentům se silným „teoretickým“ zázemím někdy chybí základní programovací a výpočetní dovednosti. PMFP tedy poskytuje základní úvod do počítačového programování a zejména do výpočetního prostředí "MATLAB", které je široce používáno v kurzech numerické analýzy výše uvedených magisterských programů.

Moduly

Část 1

• Rychlý kurz lineární algebry

Lineární prostory, lineární závislost, báze lineárního prostoru, dimenze lineárního prostoru, lineární podprostory.

Matice, základní operace s maticemi, změna souřadnic, determinanty, pořadí. Stručný popis lineárních systémů a Gaussovy eliminace.

Diagonalizace čtvercových matic, vlastní čísla, vlastní vektory. Vnitřní součiny, bilineární formy a kvadratické formy.

• Diferenciální rovnice: Základy

Obecný úvod do diferenciálních rovnic, Cauchyho úlohy.

Existence a jedinečnost řešení. Peanova a Cauchyho věta. Příklady, Peanova štětka.

Úvod do lineárních diferenciálních rovnic. Příklady.

Stručný nástin kvalitativní analýzy Cauchyho problémů. Porovnání řešení, maximální řešení, globální existence řešení, nafouknutí řešení. Příklady.

• Skutečná analýza: základy

Výroková logika. Výrokový počet.

Množiny, množinové operace, relace, funkce. Mohutnost množin, spočetné množiny, nepočitatelné množiny. Elementární číselné sady. Celá čísla a racionality. Princip indukce.

Více o funkcích: injektivní a surjektivní funkce, invertibilní funkce, obraz a předobraz.

Množina reálných čísel. Separační axiom, Dedekindovy řezy. Infimum a supremum. Archimedův majetek. Komplexní čísla: kartézský a trigonometrický tvar, základní vlastnosti, mocniny, komplexní kořeny, základní věta algebry.

Posloupnosti reálných čísel: monotónní posloupnosti, konvergence posloupnosti, podposloupnosti, limsup a liminf posloupnosti, Bolzano-Weierstrassova věta.

Úvod do funkcí reálných čísel. Elementární funkce: exponenciální a logaritmická funkce, goniometrické funkce, iracionální funkce. Monotónní funkce.

Topologie reálných čísel: intervaly, polopřímky, otevřené množiny, uzavřené množiny. Topologie euklidovského prostoru Rn: koule, otevřené a uzavřené množiny. Kompaktní sady v euklidovském prostoru.

Část 2

• Úvod do MATLABu

Prostředí MATLAB, Základní počítačové programování, Proměnné a konstanty, operátory a jednoduché výpočty, Vzorce a funkce. Sady nástrojů MATLABu.

Přehled matic a lineární algebry, vektory a matice v MATLABu, maticové operace a funkce v MATLABu.

Algoritmy a struktury, MATLAB skripty a funkce (m-soubory), Jednoduché sekvenční algoritmy, Řídící struktury (if...then, smyčky).

Čtení a zápis dat, manipulace se soubory, personalizované funkce, grafické funkce MATLABu. Interaktivní hands-on-sessions.

• Úvod do programování

Algoritmy, programy a programovací jazyky.

Výukové prostředí pro programovací jazyk Python a Turtle Graphics. Příkazy a sekvence příkazů. Psaní a spouštění programu.

Jednoznačná iterace. Procedury: definování a volání funkcí Pythonu. Postupy s parametry.

Proměnné a objekty. Základní datové typy v Pythonu. Výrazy.

Selekce, rekurze a neurčitá iterace.

Základní datové struktury v Pythonu: n-tice, řetězce, seznamy, slovníky.